抽象代数3-3群同态基本定理及应用

通过商群以及群同态基本定理来研究群结构是群论里的一个重要方法。这里介绍群同态基本定理、同构基本定理、子群对应定理。主要是Noether,Jordan,Ruffini等人的结果。

一、群同态基本定理

首先介绍群同态的核和像的概念：

定义1 设φ是群G到群G?的群同态，G?的单位元在φ下的所有原象作成的集合，称为φ的核，记为Kerφ。 群G的所有元素在φ下的像作成的集合，称为φ的像集，记作Imφ ,或φ(G).

Kerφ为单位元的原象

很容易验证：Kerφ是G的正规子群，Imφ是G?的子群。

证：因为之前已经知道群的同态保持子结构，所以，Imφ是G?的子群。满的群同态保持正规子群的结构。特别的，φ是G到Imφ的满同态，所以将平凡的正规子群{e?}拉回到正规子群Kerφ。

群和商群之间存在一个自然的满同态，称为自然同态。设N是G的正规子群。

自然同态：\[\begin{gathered} \tau: G \to G/N \hfill \\ a \mapsto aN \hfill \\ \end{gathered} \] ，Ker τ=N.

有了自然同态之后，很容易得到下面的群同态基本定理。

定理2(群同态基本定理) 设φ是群G到群G?的一个满同态. 则 N=Kerφ?G, 且 G?N?G?。

若φ只是一个同态，则上述定理可以改写为：G?Kerφ?Imφ。

证明：设φ是群G到群G?的满同态， a\rightarrow \varphi(a) ，τ是G到G/N的自然同态, a\rightarrow aN 。根据对应，很自然的想到：将商群G/N中的陪集aN映到群G?的元素φ(a). 令 \sigma:G/N\rightarrow \bar G,aN\mapsto \bar a=\varphi(a).

群同态基本定理的证明思路

所以群G的满同态像实际上就是G的一个商群。

推论1 设G和G?是两个有限群。如果G~G?, 则| G?| 整除 |G| 。

定理3 设G和G?是两个群且G~G?。若G是循环群，则G?也是循环群。即循环群的同态像也是循环群。

证：定理3只需要证循环群G的生成元a的像是群G满同态像G?的生成元。

推论2 循环群的商群也是循环群。

二、群同构基本定理

定理4（第一同构定理） 设φ是群G到群G?的满同态，Kerφ?N?G, N?=φ(N). 则 G?N?G??N? .

第一同构定理的证明思路

推论3 设H,N是群G的两个正规子群，且N?H. 则 G/H \cong (G/N)/(H/N) .

证： \varphi :G\rightarrow G/N, ker \varphi=N\subseteq H,\varphi(H)=H/N. 利用定理4即可。

推论4 设H,K是群G的两个正规子群. 则 G/HK\cong (G/H)/(HK/H).

证： 利用推论3即可。

定理5（第二同构定理）设G是群，H≤G, N?G. 则 H∩N?H ，且 HN/N\cong H/(H\cap N) .

证： \varphi: h\mapsto hN(h\in H) 是H到HN/H的满同态，Kerφ= H\cap K. 利用第一同构定理即可。

定理6（第三同构定理）设G是群，N?G，H?≤G?N. 则 （1） 存在G的唯一子群 H?N，且H?=H?N; （2） 当 H??G?N 时，有唯一的 H?G 使得 H?=H?N 且 G?H?(G?N)?(H?N).

证：利用下面的子群对应定理和群同态保持子群，满同态保持正规子群立得。

三、子群对应定理

通常情况下定理应用，设φ是集合A->B的映射。A的一个子集合H经过映射映到φ(H)后，再取原象 \varphi^{-1}[\varphi(H)] ，通常是比H大的。这里的 \varphi^{-1} 指的是取原象集合，不是说φ是可逆映射。

φ^-1 指的是取原象集合

什么时候一个集合映过去，再拉回来还是自己呢？下面的引理说明，只要集合H包含Ker φ，则 \varphi^{-1}[\varphi(H)]=H.

引理1 设φ是群G到G?的群同态，H≤G. 如果H?Kerφ, 则 \varphi^{-1}[\varphi(H)]=H.

定理7: 设φ是群G到G?的满同态， Kerφ=K. 则集合 ｛G的包含K的所有子群｝与｛ G? 的所有子群｝间可建立一个保持包含关系的双射。

注：类似地，有环和商环中的理想对应定理，代数几何中“理想-簇对应定理”。

四、群同态基本定理的一个应用----内自同构群

共轭元 x\mapsto axa^{-1} ，内自同构，还有换位子： [a,b]=aba^{-1}b^{-1} 是处理非交换代数甚至非结合代数（例如李代数）时非常重要的工具。

定理8： 设G是一个群， a\in G . 则

（1) \tau_a:x\mapsto axa^{-1} (\forall x\in G) 是G的一个自同构, 称为G的一个内自同构;

(2) G的全体内自同构作成一个群, 称为群G的内自同构群，记为 Inn G;

(3) Inn G?AutG.内自同构群是自同构群（G上所有自同构构成的群）的正规子群。

证明是平凡的，验证即可。

定理9： 设 C 是群 G 的中心. 则 Inn G?G?C.

（编辑：武汉站长网）

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