蝴蝶定理的应用

写在前面

这是在下第一次在知乎上发表文章。写这篇文章主要动力其实是因为一个我关注的人，他也关注了我，我就觉得不能让人家白关注我(有点自我意识过剩)。

沈文选老师曾经说过:“有的定理好看不好用，比如拿破仑定理，但是蝴蝶定理就是又好看又好用的。”

比如我在平常水群的时候经常能看到这样的话:

这些言论不仅是是大佬眼显题的过程，而且从这里我们其实可以感受到蝴蝶定理的重要。蝴蝶定理在解题过程中可以为我们一次性提供多个有用并且好用的辅助点。

蝴蝶定理是一个类似调和中的经典二推三的定理，由于在竞赛的平面几何中不涉及锥线，所以把共圆看成一个条件(实际上是六点共圆锥曲线)六点共圆，两条直线过中点(也可以看成是三线共点)，截线长度相等这三个中满足其中两个推出第三个。

由于网上有很多关于蝴蝶定理的证明，我在此就不多证明一遍了，有用交比的证明方法(这个可以推广到candy定理和锥线中去)，也有等腰梯形证明方法。

在给出例一之前，我先讲一个内切点和旁切点的构型。这个构型是独立的所以单拿出来讲。

如图一，在△ABC中，I为内心，K为旁切圆I_a在BC上的切点，D为内切圆I在BC上的切点，M为BC中点，D'为D关于I的对称点(也可说为D的对径点)。

图一

这个模型和蝴蝶定理的联系比较自然，请大家在看到这个形状的题目时联想到蝴蝶定理。接下来我们给出一个题目。

例一、如图2，△ABC内接于⊙O,内接圆切BC于D,M为BC边中点,AM交⊙O于点P,PD交⊙O于点Q. 求证:∠QPA＝∠QMI.

图二

注意看一下，这个题第一弦中点处有两条线，第二看见一个了中点和内切点，想到了旁切点，所以想到蝴蝶定理。

那么咱们做出D关于M的对称点K，AK交QM于X，则由蝴蝶定理得X在⊙O上。如图三。

图三

由AK∥IM(旁切点性质)可导角证明题目。

下面我再给出一个模型

图四

这个模型中那两个三角形相似而且是旋转相似，所以这里实际上还有△PFB∽△PEC。把这两个模型结合起来深入挖掘可以得到一个题目。

例二、设△ABC的内心I在BC上的射影是D,Γ是△ABC的外接圆,过点I且垂直于A的直线与AC、AB分别交于E、F,△AEF的外接圆与圆Γ交于A、P两点,M是BC的中点求证:直线AM与PD的交点在圆Γ上.(57届IMO预选题)

图五

这道题是上面两个模型的有机(口胡)结合。如果愿意读者可尝试自证。

如果自证困难，那在下给出初步提示。本题中因为符合模型一(有中点和内切点)，所以应该想“可能蝴蝶有用”，蝴蝶可以为我们提供大量有用的辅助点。做出这些辅助点是这样的。

作D关于M的对称点K,AK、PM交于点X，PDAM交于点Y。

图六

注意，蝴蝶是个二推三的过程 ，我们看看现在都有哪些条件:截线相等，三线交点为弦中点。貌似可以推导共圆了？事实上不是。因为蝴蝶定理的完整版处于在锥线中，的我们只能说他们四点共圆锥曲线，这个圆锥曲线有一条弦在BC这条直线上，而且这条弦的中点是M。我们最多能说这么多。也就是说我们只能说APBCXY这6点共圆锥曲线(5点确定一条圆锥曲线)。所以我们接下来的目标应该是证明这个圆锥曲线是圆。第一步提示至此。读者可尝试自证。

给出第二步提示，这里有两个模型所以当然应该用第二个模型来把第一个模型补全。

图七

这个图里由于模型一里的两个褐色三角形相似，所以他们对应中点也有旋转相似关系，所以我们可以发现这里的三个粉色三角形相似。

我们要证明他们共的圆锥曲线是圆，可以通过证明X在外接圆上来证明。证明共圆的方法是倒角。那么这里由模型一里的平行结论，我们得到∠AXM=∠IMP=∠ABP。所以A、B、C、P、X5点共圆这样由蝴蝶定理定理应用，得到Y也在圆上。

这是一个混合模型，大家当然可以稍微改一下来出一道另外的题但是已经换汤不换药了。

蝴蝶定理的里有弦中点这个条件。而弦中点和外心是的连线和弦是垂直关系，所以当我看见与外心有关的垂直时，可以想到蝴蝶定理。

下面给一道题来引出另一个模型。

例三、如图八,AB＞AC,O为△ABC外心,H为△ABC垂心,D为AH的垂足,DE⊥OD交AC于点E.证明:∠EHD=∠ECD.

图八

面对这样的图形时，我们看到若把D当成弦中点，那么过D有三条直线，交在圆上，那我们可以得到线段相等关系。这有什么用呢？先画出来再说，边做题变探索。

图九

画出图来时这个样子，于是思路明显了。由垂心性质知HD=DG,由蝴蝶定理知DE=DJ,故△DJG≌△DEH所以∠DHF=∠DGJ，然后由圆周角定理，本题得证。

通过这道题可以得到一个外心与垂足连线的模型。但是貌似群主不让给题。

（编辑：武汉站长网）

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